Partie A - Étude du rectangle d'or

Soit `\text{ABCD}` un rectangle, non aplati, de longueur  `L` et largeur \(\ell\) .
Soit `\text{EBCF}` le rectangle obtenu en retirant le carré de coté  \(\text{[AD]}\) (voir figure ci-dessous).

On dit que \(\text{ABCD}\) est un rectangle d’or si on a `\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{FC}}` .

1. Démontrer que si `\text{ABCD}` est un rectangle d’or alors on a   \(\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L-\ell}\) .
2. Soit \(x=\dfrac{L}{\ell}\) . Démontrer que l’égalité établie à la question précédente est équivalente à   `x^2-x-1=0` . On obtient donc une équation du second degré.

3. Résoudre l'équation précédente. La solution positive de cette équation s’appelle nombre d’or et on l’indique souvent avec la lettre grecque `\phi` . Donner la valeur exacte de  `\phi` puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.